Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*）．
（1）证明：数列{

an

n

}是等差数列；
（2）设a_n=（

2nbn

32n+1

）²，求正项数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*）的两边同时除以n（n+1），能证明数列{

an

n

}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由

an

n

=1+（n-1）×1=n，得a_n=n²，从而

2nbn

32n+1

=n，进而b_n=

3

2

•9n，由此能求出正项数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*），
∴

an+1

n+1

=

an

n

+1，
∴数列{

an

n

}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：∵数列{

an

n

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

an

n

=1+（n-1）×1=n，∴a_n=n²，
∵a_n=（

2nbn

32n+1

）²=n²，∴

2nbn

32n+1

=n，
∴b_n=

3

2

•9n，
∴S_n=

3

2

(9+92+93+…+9n)
=

3

2

×

9(1-9n)

1-9

=

27

16

(9n-1)．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和等比数列的性质的合理运用．