Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y₀）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x-1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由抛物线的定义，可得$2+\frac{p}{2}=3$，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；
（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x²-6x+1=0，进而设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由一元二次方程根与系数的关系可得x₁+x₂=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x-1，进而由三角形面积公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，D（2，y₀）在抛物线y²=2px，上且|DF|=3
由抛物线定义得$2+\frac{p}{2}=3$，∴p=2
故抛物线的方程为y²=4x；
（2）由方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6；
∵直线y=x-1过抛物线y²=4x的焦点F，
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8
又O到直线y=x-1的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴△ABO的面积$S=\frac{1}{2}|AB|d=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．