Question

12．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），圆O：x²+y²=b²，过椭圆C的上顶点A的直线l：y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$．
（1）若点P（-3，0），点Q（-4，-1），求椭圆C的方程；
（2）若λ=3，求椭圆C的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由P（-3，0）在圆O上，可得b=3．再由点Q在椭圆C上求得a．则椭圆方程可求；
（2）分别联立直线方程与圆、椭圆的方程，求出P、Q的横坐标，由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，λ=3，得$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AQ}$，代入点的坐标可得${k}^{2}=\frac{3{a}^{2}-4{b}^{2}}{{a}^{2}}=4{e}^{2}-1$．再由k²＞0求得e的取值范围．

解答 解：（1）由P（-3，0）在圆O：x²+y²=b²上，可得b=3．
又点Q在椭圆C上，得$\frac{（-4）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（-1）^{2}}{{3}^{2}}=1$，解得a²=18．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={b}^{2}}\end{array}\right.$，得x=0或x_P=$-\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得x=0或x_Q=$-\frac{2kb{a}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，λ=3，∴$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AQ}$，
∴$\frac{2kb{a}^{2}}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}•\frac{3}{4}=\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$，即${k}^{2}=\frac{3{a}^{2}-4{b}^{2}}{{a}^{2}}=4{e}^{2}-1$．
∵k²＞0，∴4e²＞1，得e$＞\frac{1}{2}$，或$e＜-\frac{1}{2}$．
又0＜e＜1，∴$\frac{1}{2}＜e＜1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆标准方程的求法，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．