Question

11．已知圆B：（x-1）²+（y-1）²=2，过原点O作两条不同的直线l₁，l₂与圆B分别交于P，Q．
（1）过圆心B作BA⊥OP，BC⊥OQ，垂足分别为点A，C，求过四点O，A，B，C的圆E的方程，并判断圆B与圆E的位置关系；
（2）若l₁与l₂的倾斜角互补，试用l₁的倾斜角α表示△OPQ的面积，并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标与半径，可得圆E的方程，即可得出结论；
（2）求出直线与圆相交的弦长，可得面积，利用三角函数知识得出结论．

解答 解：（1）过四点O，A，B，C的圆E的方程是以OB为直径的圆，圆E的圆心为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圆E的方程为：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$．
∵圆心距=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圆B与圆E相内切；
（2）设l₁的方程为y=xtanα，圆心B（1，1）到直线l₁的距离d=$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
直线l₁与圆相交的弦长m=$\frac{2|tanα+1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
以-tanα代替tanα，可得直线l₂与圆相交的弦长n=2$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}mn|sin2α|$=2|$\frac{ta{n}^{2}α-1}{ta{n}^{2}α+1}$||sin2α|=|sin4α|≤1，
当且仅当α=$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$，$\frac{5π}{8}$，$\frac{7π}{8}$时等号成立，故最大值为1．

点评 本题考查直线方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．