Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{n}{n+1}{a_n}$，（n∈N₊），则a_n=$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{n}{n+1}{a_n}$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+1}{a_n}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$•\frac{{a}_{3}}{a}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n-2}{n-1}$×…×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{n}$，n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
故答案为：$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．