Question

2．若实数x，y满足x²+y²-2y=0，则$\frac{y-1}{x-2}$的取值范围为（　　）

• A． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• C． $[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• D． $（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，再由$\frac{y-1}{x-2}$的几何意义，即圆上动点与动点（2，1）连线的斜率求解．

解答 解：化圆x²+y²-2y=0为x²+（y-1）²=1，
圆心坐标为（0，1），半径为1．
$\frac{y-1}{x-2}$的几何意义为圆上动点与动点（2，1）连线的斜率．
设过（2，1）与圆x²+（y-1）²=1相切的直线的斜率为k，
直线方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由点到直线的距离公式得$\frac{|-1-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{y-1}{x-2}$的取值范围为[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：A．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．