Question

11．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-3，若以极点O为原点，极轴所在的直线为x轴建立平面直角坐标系
（1）求圆C的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上的动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标；
（3）已知$l：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\end{array}\right.（t$为参数），曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），若版曲线C₁上各点恒坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）因为ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-3，利用互化公式可得普通方程，再利用平方关系即可得出所求圆C的参数方程．
（2）设x+2y=t，得x=t-2y代入x²+y²-4x-4y+3=0，整理得5y²+4（1-t）y+t²-4t+3=0，则关于y的方程必有实数根，△≥0，解得t的最大值代入即可得出x+2y的最大值．
（3）C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），可得点P的坐标，即可得出点P到直线l的距离，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）因为ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-3，所以x²+y²-4x-4y+3=0，
即（x-2）²+（y-2）²=5为圆C的普通方程，
所以所求圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosθ\\ y=2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）．
（2）设x+2y=t，得x=t-2y代入x²+y²-4x-4y+3=0
整理得5y²+4（1-t）y+t²-4t+3=0，则关于y的方程必有实数根，
所以△=16（1-t）²-20（t²-4t+3）≥0，化简得t²-12t+11≤0，
解得1≤t≤11，即x+2y的最大值为11，
将t=11代入方程，得y²-8y+16=0，解得y=4，代入x+2y=11得x=3，
故x+2y的最大值为11时，点P的直角坐标为（3，4）．
（3）C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），故点P的坐标是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
从而点P到直线l的距离是$d=\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}[\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+2]$，
由此当$sin（θ-\frac{π}{4}）=-1$时，d取得最小值，且最小值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}（\sqrt{2}-1）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角函数求值、点到直线的距离公式、一元二次方程与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．