近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间.某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时.相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易.并对其评价进行统计.对商品的好评率为0.7.对服务的好评率为0.8.其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．(Ⅰ)先完成关于商品� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．
（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附临界值表：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

K²的观测值：$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）
关于商品和服务评价的2×2列联表：

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	a=120	b=40	160
对商品不满意	c=20	d=20	40
合计	140	60	n=200

分析（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k²的值，对应数表得答案；
（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.6，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.6）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．

解答解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	120	40	160
对商品不满意	20	20	40
合计	140	60	200

…（2分）$k=\frac{{200×{{（120×20-20×40）}^2}}}{140×60×40×160}≈9.524＞7.897$…（4分）
故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…．…（5分）
（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，…（6分）
X的取值可以是0，1，2，3．
其中P（X=0）=0.4³=$\frac{8}{125}$； P（X=1）=C₃¹•0.6•0.4²=$\frac{36}{125}$；…..（7分）
P（X=2）=C₃²•0.6²•0.4=$\frac{54}{125}$； P（X=3）=C₃³•0.6³=$\frac{27}{125}$．…..（9分）
X的分布列为：