Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*）则$\frac{a_n}{n}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{11}{9}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 通过对2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*）变形可知na_n-（n-1）a_n-1=（n+1）a_n+1-na_n（n≥2且n∈N^*），进而可知数列{na_n}是首项为1、公差为5的等差数列，进而可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{5n-4}{{n}^{2}}$=$\frac{5-\frac{4}{n}}{n}$=（5-$\frac{4}{n}$）•$\frac{1}{n}$，利用函数f（x）=（5-4x）x的单调性计算可得结论．

解答 解：因为2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*），
所以na_n-（n-1）a_n-1=（n+1）a_n+1-na_n（n≥2且n∈N^*），
又因为a₁=1，a₂=3，
所以（n+1）a_n+1-na_n=na_n-（n-1）a_n-1=…=2a₂-a₁=5，
所以数列{na_n}是首项为1、公差为5的等差数列，
所以na_n=1+5（n-1）=5n-4，
所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{5n-4}{{n}^{2}}$=$\frac{5-\frac{4}{n}}{n}$=（5-$\frac{4}{n}$）•$\frac{1}{n}$，
记f（x）=（5-4x）x，则函数y=f（x）图象是关于x=$\frac{5}{8}$对称、开口向下的抛物线，
由于0＜x≤1，所以f（x）_max=f（$\frac{5}{8}$）=$\frac{25}{16}$，
由于n∈N^*，所以当n=2时$\frac{{a}_{n}}{n}$取得最大值$\frac{3}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，构造新数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．