Question

20．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（　　）

• A． $8\sqrt{3}$
• B． $8+8\sqrt{3}$
• C． $6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
• D． $8+6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用勾股定理求出梯形ABFE的高，再计算出各个面的面积即可得出表面积．

解答 解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，
过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．
∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，
∴OP=$\frac{1}{2}$（AB-EF）=1，PF=$\sqrt{3}$，OQ=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴OF=$\sqrt{P{F}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{2}$，FQ=$\sqrt{O{F}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_梯形EFBA=S_梯形EFCB=$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
又S_△BCF=S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，S_矩形ABCD=4×2=8，
∴几何体的表面积S=3$\sqrt{3}×2$+$\sqrt{3}×2$+8=8+8$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了线面距离的计算，多面体表面积计算，属于中档题．