Question

9．如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，且AB=4，BC=CD=ED=EA=2．
（1）求二面角E-AB-D的正切值；
（2）在线段CE上是否存在一点F，使得平面EDC⊥平面BDF？若存在，求$\frac{EF}{EC}$的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点H，则EH⊥AD，EH⊥平面ABCD，过H作HN⊥AB于N，由EN⊥AB，得∠ENH为二面角E-AB-D的平面角，由此能求出二面角E-AB-D的正切值．
（2）取AB的中点M，推导出DB⊥AD，BD⊥ED，由此能求出$\frac{EF}{EC}$的值．

解答 解：（1）取AD的中点H，则EH⊥AD，
又平面EAD⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
过H作HN⊥AB于N，由EN⊥AB，
∴∠ENH为二面角E-AB-D的平面角，
又∵BC⊥AB，AB∥CD，AB=2CD=4，
∴AD=2$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，AE=2，∴EH=$\sqrt{2}$，
又HN=1，∴tan$∠ENH=\sqrt{2}$，
∴二面角E-AB-D的正切值为$\sqrt{2}$．
（2）存在点F满足条件．
取AB的中点M，由DM=$\frac{1}{2}$AB，故DB⊥AD，
又平面EAD⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面EAD，∴BD⊥ED，
要使平面EDC⊥平面BDF，
在等腰△DEC，DE=DC=2，EC=$\sqrt{E{H}^{2}+H{V}^{2}+V{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠DEC=30°，∴EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{EF}{EC}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，考查两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．