Question

已知在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N、P分别是棱AB、BC、AA₁的中点，给出下列五个结论：
①AC⊥PM；
②B₁D∥PMN；
③AC∥平面PMN；
④过P、M、N的平面截该正方体所得的截面面积为

3 3

4

；
⑤B₁P⊥平面PMN．
以上结论中正确的是

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,空间位置关系与距离,空间角

分析：①由平行可知AC和CD₁所成的角即为AC和PM所成的角，在等边三角形ACD₁中，∠ACD₁=60°，即可判断；
②运用线面垂直的判定和性质，即可证得B₁D⊥平面PMN；
③运用线面平行的判定定理，即可得到；
④画出过P、M、N的平面截该正方体所得的截面为正六边形，边长为

2

2

，求出面积，即可判断；
⑤若B₁P⊥平面PMN，又B₁D⊥平面PMN，则B₁D与B₁P重合，即可判断．

解答： 解：①∵PM∥A₁B，A₁B∥CD₁，∴PM∥CD₁，即AC和CD₁所成的角即为AC和PM所成的角，在等边三角形ACD₁中，∠ACD₁=60°，故①错；
②∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，∴AC⊥平面BDB₁，∴AC⊥B₁D，即MN⊥B₁D，
同理PM⊥B₁D，则B₁D⊥平面PMN，故②错；
③∵AC∥MN，AC?平面PMN，∴AC∥平面PMN，故③对；
④过P、M、N的平面截该正方体所得的截面为正六边形，如图所示，边长为

2

2

，
面积为6×

3

4

×（

2

2

）2=

3 3

4

，故④对；
⑤若B₁P⊥平面PMN，又B₁D⊥平面PMN，则B₁D与B₁P重合，故⑤错．
故答案为：③④

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是平行和垂直，记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅速解题的关键，同时考查截面的画法及计算，以及空间异面直线所成的角的求法，属于基础题和易错题．