Question

已知圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0的周长被直线x-y+4=0平分，且圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：圆的周长被直线平分，则直线过圆心，求出D的值，利用直线和圆的位置关系建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：∵圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0的周长被直线x-y+4=0平分，
∴圆心C（-

D

2

，3）在直线x-y+4=0上，
即-

D

2

-3+4=0，解得D=2，
则圆C：x²+y²+2x-6y+1=0，即圆C：（x+1）²+（y-3）²=9，圆心（-1，3），半径r=3，
若圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，
则圆心C到直线3x+4y+c=0的距离d=1+3=4，
即

|-3+12+c|

5

=

|c+9|

5

=4，
即|9+c|=20，
解得c=11或c=-29．
故答案为：11或-29

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．