题目内容
2．中国石油化工集团公司（sinopec）通过与安哥拉国家石油公司设立的合资公司合资，获得安哥拉深海油田18区块，在某地区初步勘探时期已零散地钻探了口井，取得了地质资料．进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行全面钻探．由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或相当接近，便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井．因此，钻探要遵循尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用．勘探初期数据资料见下表：| （x，y）（坐标单位：km） | 1（2，30） | 2（4，40） | 3（5，60） | 4（6，50） | 5（8，70） | 6（1，y） |
| 钻探深度（km） | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
| 出油量（L） | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
参看公式b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=y-$\stackrel{∧}{b}$x．
（1）若1～6号旧井位置满足线性分布，请利用前5组数据求出回归直线方程，并求出y的值；
（2）现准备打新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的$\stackrel{∧}{b}$，$\stackrel{∧}{a}$的值与（1）中的b，c的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打井，请判断可否使用旧井；
（3）设出油量与钻探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘察4口井，去勘察优质井数X的分布列与数学期望．
分析 （1）利用前5组数据得到$\overline{x}$，$\overline{y}$，由回归直线方程必过平衡点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），能求出y．
（2）分别求出$\widehat{b}$，$\widehat{a}$，a，b，从而得到$\frac{\widehat{b}-b}{b}≈5%$，$\frac{\widehat{a}-a}{a}≈8%$，均不超过10%，由此能求出结果．
（3）由题意勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
解答 解：（1）利用前5组数据得到$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
∵回归直线方程必过平衡点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），
∴a=$\overline{y}-b\overline{x}$=50-6.5×5=17.5，
∴回归直线方程为y=6.5x+17.5，
当x=1时，y=6.5+17.5=24，
∴y的预报值为24．
（2）∵$\overline{x}=4，\overline{y}=46.25$，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}$=94，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}$=945，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$$\frac{945-4×4×46.25}{94-4×{4}^{2}}$≈6.83，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=46.25-6.83×4=18.93，
即$\widehat{b}$=6.83，$\widehat{a}$=18.93，b=6.85，a=17.5，
$\frac{\widehat{b}-b}{b}≈5%$，$\frac{\widehat{a}-a}{a}≈8%$，均不超过10%，
∴使用位置最接近的已有旧井6（1，24）．
（3）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，
∴勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列为：
| X | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{2}{5}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |
点评 本题考查线性回归方程的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
高中必刷题系列答案| A． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{6}}{4}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
| A． | ${∫}_{0}^{1}$2xdx | B． | ${∫}_{0}^{1}$（2x-1）dx | C． | ${∫}_{0}^{1}$（2x+1）dx | D． | ${∫}_{0}^{1}$（1-2x）dx |
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中．