Question

某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）=

- x3 900 +400x，0≤x≤390 90090，x＞390

，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（　　）

• A、150
• B、200
• C、250
• D、300

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：

分析：先根据“利润=收入-成本”列出总利润关于x的函数表达式，由题意这是一个分段函数，再分别求出当0≤x≤390，及x＞390时的总利润的最大值，通过比较得到整个函数的最大值．

解答： 解：由题意当年产量为x时，总成本为20000+100x，
又总收入R与年产量x的关系是R（x）=

- x3 900 +400x，0≤x≤390 90090，x＞390

，
∴总利润Q（x）=

- x3 900 +400x-20000-100x， 0≤x≤390 90090-20000-100x，   x＞390

，即Q（x）=

- x3 900 +300x-20000，0≤x≤390 -100x+70090，    x＞390

①当0≤x≤390时，Q′（x）=-

x2

300

+300，令Q′（x）=0得x=300，
由Q′（x）＜0得300＜x≤390，此时Q（x）是减函数，
由Q′（x）＞0得0＜x＜300，此时Q（x）是增函数，
∴当0≤x≤390时，Q（x）_max=Q（300）=40000（元）；
②当x＞390时，Q（x）=-100x+70090是减函数，∴Q（x）＜Q（390）=31090（元）；
∴当x=300时，Q（x）的最大值为40000．
故选D

点评：这是一个分段函数的实际应用题，先借助于“利润=收入-成本”列出利润函数解析式，然后按照分段函数分段处理的原则求出每一段上的最值，再通过比较得到函数在定义域上的最值．