Question

设平面向量

a

=（1，1），

b

=（sinx，

cos2x- 3 4

），则

a

•

b

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：平面向量及应用

分析：由数量积的坐标运算可得

a

•

b

=sinx+

cos2x- 3 4

=sinx+

1 4 -sin2x

．要使

1 4 -sin2x

有意义，必需

1

4

-sin2x≥0，可得-

1

2

≤sinx≤

1

2

．令sinx=t∈[-

1

2

，

1

2

]，
f（t）=

a

•

b

=t+

1 4 -t2

．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：

a

•

b

=sinx+

cos2x- 3 4

=sinx+

1 4 -sin2x

，
要使

1 4 -sin2x

有意义，必需

1

4

-sin2x≥0，化为sin2x≤

1

4

，∴-

1

2

≤sinx≤

1

2

．
令sinx=t∈[-

1

2

，

1

2

]．
则f（t）=

a

•

b

=t+

1 4 -t2

．
f′(t)=1-

t

1 4 -t2

=

1-4t2 -2t

1-4t2

，
令f′（t）=0，解得t=

2

4

．
当-

1

2

≤t＜

2

4

时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当

2

4

＜t≤

1

2

时，f′（t）≤0，函数f（t）单调递减．
∴当t=

2

4

时，f（t）取得最大值，且f(

2

4

)=

2

4

+

1 4 -( 2 4 )2

=

2

2

．
又f(-

1

2

)=-

1

2

，f(

1

2

)=

1

2

，∴f（t）的最小值为-

1

2

．
∴f（t）即

a

•

b

的取值范围是[-

1

2

，

2

2

]．
故答案为：[-

1

2

，

2

2

]．

点评：本题综合考查了数量积运算、三角函数的基本关系式、三角函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、换元法，属于难题．