Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

，将y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[a，b]上至少含有1012个零点，则b-a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=-

1

2

，利用正弦函数的图象解出x，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值，可得b-a的最小值．

解答： 解：函数f（x）=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

=sin2x+-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]+1
=2sin2x+1的图象，由题意可得，g（x）在[a，b]上至少含有1012个零点．
令g（x）=0，得sin2x=-

1

2

，可得2x=2kπ+

7π

6

，或2x=2kπ+

11π

6

，k∈z．
求得x=kπ+

7π

12

，或x=kπ+

11π

12

．
函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有1012个零点，则b不小于第1012个零点的横坐标即可，
故b的最小值为 505π+

11π

12

=

6071π

12

，故b-a的最小值为

6071π

12

-

7π

12

=

1516

3

π，
故答案为：

1516

3

π．

点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求解函数g（x）在[0，b]上零点的个数的问题．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．