题目内容
【题目】已知函数
，
，
.
（1）当
时，若对任意
均有
成立，求实数k的取值范围；
（2）设直线
与曲线
和曲线
均相切，切点分别为
，
，其中
.
①求证：
；
②当
时，关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
；（2）①证明见解析；②
.
【解析】
（1）对任意
均有
成立，等价于
，所以只要使
和
，对恒成立，所以构造函数
求最小值大于等于零，
求其最大值，即可求出k的取值范围；
（2）①由题可知，
为曲线
和曲线
的公切线，则两切点处导数相等，且与连线斜率也相等，再结合
，即可证明；
②
恒成立等价于
，在
恒成立，所以构造函数
求得其最大值为
，而
，代换后可求出a的取值范围.
（1）当
时，
，
由，知：，
①令
，对恒成立，
,
，
，
当
，
，
成立，
当
，，
，
，
，
∴
，
不成立，
∴.
②设，∴
，
当
时，
；
当
时，
，
∴
，∴
.
故：实数k的取值范围是.
（2）由已知：
，
，
①由
得：
，
由
得：
，
故
，
∵，∴
，∴
，
故：
.
②，在恒成立.
设，
，
∴
在
为减函数，
∴
，
，
∵，
∴
，∴.
【题目】
大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力，能够促进国家综合实力的提高.据统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y(单位：万人)的数据如下表：
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份代号x | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
高校毕业生人数y(单位：万人) | 765 | 795 | 820 | 834 | 874 |
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱.
(已知：
，则认为y与x线性相关性很强；
，则认为y与x线性相关性一般；
，则认为y与x线性相关性较弱)
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测2022年我国高校毕业生的人数(结果取整数).
参考公式和数据：
，
，
，
，
，
.
【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望.
附：
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2
.
