Question

【题目】已知椭圆的长轴长为，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的左焦点为，点是椭圆与轴负半轴的交点，经过的直线与椭圆交于点，经过且与平行的直线与椭圆交于点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）求出后可得椭圆的标准方程.

（2）设直线的方程为，，，,联立直线的方程与椭圆方程，消去后利用韦达定理可求的长度（用表示），同理可求的长度（用表示），结合可得关于的方程，解方程后可得所求的直线方程.

（1）因为长轴长为，故，

又离心率为，故，所以，故椭圆方程为：.

（2）因为，所以与轴不垂直，

设直线的方程为，，，

由，得，

则，，

，

依题意，直线AB的方程为，代入中，得，

设，又，可得，则，

由，所以，

从而，则，

直线的方程为即或.