Question

【题目】已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为4，记圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的标准方程；

（2）过轴下方一点向曲线作切线，切点记作、，直线交曲线于点，若直线、的斜率乘积为，点在以为直径的圆上，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设，动圆被轴截得的弦长为4，则，从而得到答案.
（2）设直线：，，,求出过的切线方程，方程联立，结合直线、的斜率乘积为，用表示出点的坐标，点在以为直径的圆上，则，建立关于的方程求解即可.

解：（1）设，则，

，即，

所以曲线的标准方程为：.

（2）设直线：，，，

，

过点的切线方程为：，

过点的切线方程为：，

联立，解得，

所以，点，

，

所以点，则又，则，

由，直线的方程为，

代入抛物线,可得，

点在以为直径的圆上，则，

，

，

整理得，

所以，点的坐标为：.