Question

8．设函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a属于R．
（1）讨论函数f（x）极值点的情况；
（2）若函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上不是单调函数．试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）（x＞0），设g（x）=2x²-2ax+1，①当a≤0时，g（x）＞0，可得f′（x）＞0，利用单调性即可判断出极值情况．②a＞0，（i）△=4a²-8≤0，即0＜a≤$\sqrt{2}$时，利用单调性即可判断出极值情况．（ii））△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$时，利用单调性即可得出极值情况；
（2）问题转化为函数在区间[$\frac{1}{2}$，2]上有极值点，得到关于a的不等式组，基础即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$（x＞0），
设g（x）=2x²-2ax+1，
①当a≤0时，g（x）＞0，∴f′（x）＞0，
此时函数f（x）单调递增，没有极值点，舍去．
②a＞0，（i）△=4a²-8≤0，
即0＜a≤$\sqrt{2}$时，f′（x）＞0恒成立，
此时函数f（x）单调递增，没有极值点，舍去．
（ii））△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$时，
由g（x）＜0，解得 $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
由g（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极大值点；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极小值点．
综上可得：当a≤$\sqrt{2}$时，函数f（x）没有极值点；
当a＞$\sqrt{2}$时：x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$ 是函数f（x）的极大值点；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极小值点．
（2）∵f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上不是单调函数，
∴函数在区间[$\frac{1}{2}$，2]上有极值点，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜2或$\frac{1}{2}$＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜2，
解得：$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{9}{4}$，
∴a∈（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，求函数的极值点问题，是一道中档题．