Question

5．设函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．已知当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．
（1）若a=0，求实数b的取值范围；
（2）求a-3b的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=0，f（x）=x²+b，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{|b|≤1}\\{|f（-1）|≤1}\\{|f（1）|≤1}\end{array}\right.$，即可求实数b的取值范围；
（2）当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，利用a-3b=-2f（-1）-f（1）+3，求a-3b的最大值．

解答 解：（1）a=0，f（x）=x²+b，
∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|b|≤1}\\{|f（-1）|≤1}\\{|f（1）|≤1}\end{array}\right.$，∴-1≤b≤0；
（2）∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，
∴|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1．
∵f（-1）=1-a+b，f（1）=1+a+b，
∴a-3b=-2f（-1）-f（1）+3，
∵-3≤2f（-1）+f（1）≤3，
∴-3≤-2f（-1）-f（1）≤3，
∴0≤-2f（-1）-f（1）+3≤6，
∴a-3b的最大值是6．

点评 本题考查函数性质的运用，考查恒成立问题，考查学生转化问题的能力，属于中档题．