Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，且AC与BD交于点O，E为棱DD₁中点，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
（Ⅰ）求证：B₁O⊥平面EAC；
（Ⅱ）若点F在EA上且B₁F⊥AE，试求点F的坐标；
（Ⅲ）求二面角B₁-EA-C的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由条件向量，向量、，计算•=0，•=0，即可证明B₁O⊥平面EAC；
（Ⅱ）若点F在EA上设点F的坐标为F（0，2λ，λ），，利用B₁F⊥AE，•=0，求出λ，再求点F的坐标；
（Ⅲ）B₁O⊥平面EAC，B₁F⊥AE，连接OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE，∠OFB₁即为二面角B₁-EA-C的平面角，可以求二面角B₁-EA-C的正弦值．
解答：证明：（I）由题设知下列各点的坐标
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），E（0，2，1），B₁（2，0，2）．
∵O是正方形ABCD的中心，∴O（1，1，0）．
∴=（-1，1，-2），=（2，2，0），=（0，2，1）．
（2分）
∴•=（-1，1，-2）•（2，2，0）
=-1•2+1•2-2•0=0．
•=（-1，1，-2）•（0，2，1）
=-1•0+1•2-2•1=0．
∴⊥，⊥，
即B₁O⊥AC，B₁O⊥AE，
∴B₁O⊥平面ACE．（4分）

（2）由F点在AE上，可设点F的坐标为F（0，2λ，λ），（5分）
则=（-2，2λ，l-2）．（6分）
∵⊥，
∴•=（-2，2λ，λ-2）•（0，2，1）=5λ-2=0，（7分）
∴λ=，
∴F（0，，）．（8分）

（III）∵B₁O⊥平面EAC，B₁F⊥AE，连接OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE．
∴∠OFB₁即为二面角B₁-EA-C的平面角．（9分）
∴||==（10分）
又=（-2，，-），
∴||==．（11分）
在Rt△B₁OF中，sin∠B₁FO==．
故二面角B₁-EA-C的正弦值为．（12分）
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．