题目内容

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AB的中点,过A1,M,C三点的平面与CD所成角正弦值(  )
分析:先做B1E⊥平面A1MC与E,根据DC∥A1B1得到∠B1A1E为所求;然后通过体积相等求出B1E的长,即可求出答案.
解答:解:做B1E⊥平面A1MC与E
设B1E=h
∵DC∥A1B1,则∠B1A1E为所求的线面角;
设此正方体所有棱边长为1.
如图,因为M是棱AB的中点,
所以:CM=
CB 2+AM 2
=
5
2
,同理A1M=
5
2

而CA1=
3
AB=
3

∴在等腰三角形A1MC中底边A1C边上的高为
2
2

SA1MC=
1
2
×
2
2
×
3
=
6
4

VB1-A1MC=VC-A1B1 M
1
3
•h•SA1MC=
1
3
•BC•SA1B1C
1
3
•h•
6
4
=
1
3
×1×
1
2
×1×1⇒h=
2
6
=
6
3

∴sin∠B1A1E=
B1E
A1B1
=
6
3

即过A1,M,C三点的平面与CD所成角正弦值为:
6
3

故选:D.
点评:本题主要考察直线与平面所成的角.解决本题的关键在于通过DC∥A1B1把问题转化为求∠B1A1E.
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