题目内容
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AB的中点,过A1,M,C三点的平面与CD所成角正弦值( )
分析:先做B1E⊥平面A1MC与E,根据DC∥A1B1得到∠B1A1E为所求;然后通过体积相等求出B1E的长,即可求出答案.
解答:解:做B1E⊥平面A1MC与E
设B1E=h
∵DC∥A1B1,则∠B1A1E为所求的线面角;
设此正方体所有棱边长为1.
如图,因为M是棱AB的中点,
所以:CM=
=
,同理A1M=
,
而CA1=
AB=
.
∴在等腰三角形A1MC中底边A1C边上的高为
.
∴S△A1MC=
×
×
=
;
∵VB1-A1MC=VC-A1B1 M
∴
•h•S△A1MC=
•BC•S△A1B1C
∴
•h•
=
×1×
×1×1⇒h=
=
.
∴sin∠B1A1E=
=
.
即过A1,M,C三点的平面与CD所成角正弦值为:
.
故选:D.
设B1E=h
∵DC∥A1B1,则∠B1A1E为所求的线面角;
设此正方体所有棱边长为1.
如图,因为M是棱AB的中点,
所以:CM=
CB 2+AM 2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
而CA1=
3 |
3 |
∴在等腰三角形A1MC中底边A1C边上的高为
| ||
2 |
∴S△A1MC=
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
| ||
4 |
∵VB1-A1MC=VC-A1B1 M
∴
1 |
3 |
1 |
3 |
∴
1 |
3 |
| ||
4 |
1 |
3 |
1 |
2 |
2 | ||
|
| ||
3 |
∴sin∠B1A1E=
B1E |
A1B1 |
| ||
3 |
即过A1,M,C三点的平面与CD所成角正弦值为:
| ||
3 |
故选:D.
点评:本题主要考察直线与平面所成的角.解决本题的关键在于通过DC∥A1B1把问题转化为求∠B1A1E.
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