题目内容
已知边长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F为AD、CD上靠近D的三等分点,H为BB1上靠近B的三等分点,G是EF的中点.
(1)求A1H与平面EFH所成角的正弦值;
(2)设点P在线段GH上,
=λ,试确定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值为
.
(1)求A1H与平面EFH所成角的正弦值;
(2)设点P在线段GH上,
GP |
GH |
| ||
10 |
分析:(1)由题意建立坐标系,求出平面EFH的法向量,利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值,再求其正弦值;
(2)由题意先求出P点的坐标,确定面A1B1C1的法向量、面PC1B1的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得结论.
(2)由题意先求出P点的坐标,确定面A1B1C1的法向量、面PC1B1的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得结论.
解答:解:由题意,以D1为坐标原点,A1D1,D1C1,DD1为x,y,z轴建立直角坐标系,可得E(2,0,6),F(0,2,6),H(6,6,4),A1(6,0,0).
(1)设平面EFH的法向量
=(1,x,y),
∵
=(-2,2,0),
=(4,6,-2)
∴由
,可得
∴可取
=(1,1,5);
∵
=(0,6,4),
∴cos<
,
>=
=
=
∴求A1H与平面EFH所成角的正弦值为
;
(2)由题意知,G(1,1,6),C1(0,6,0),
=(5,5,-2),
∵
=λ,∴
=λ
=(5λ,5λ,-2λ),解得P(5λ+1,5λ+1,-2λ+6),
已知面A1B1C1的法向量为
=(0,0,6)
设面PC1B1的法向量为
=(p,q,r),
∵
=(5λ+1,5λ-5,-2λ+6),
=(6,0,0)
∴
∴可取
=(0,2λ-6,5λ-5)
∵二面角P-C1B1-A1的余弦值为
,
∴|cos<
,
>|=|
|=|
|=
∴λ=
.
(1)设平面EFH的法向量
n |
∵
EF |
EH |
∴由
|
|
∴可取
n |
∵
A1H |
∴cos<
n |
A1H |
| ||||
|
|
26 | ||||
|
| ||
9 |
∴求A1H与平面EFH所成角的正弦值为
| ||
9 |
(2)由题意知,G(1,1,6),C1(0,6,0),
GH |
∵
GP |
GH |
GP |
GH |
已知面A1B1C1的法向量为
D1D |
设面PC1B1的法向量为
m |
∵
PC1 |
C1D1 |
∴
|
∴可取
m |
∵二面角P-C1B1-A1的余弦值为
| ||
10 |
∴|cos<
D1D |
m |
| ||||
|
|
6(5λ-5) | ||
6
|
| ||
10 |
∴λ=
9 |
13 |
点评:本题用向量法求线面角、面面角的问题,考查学生的计算能力,属于中档题.
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