题目内容

已知边长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F为AD、CD上靠近D的三等分点,H为BB1上靠近B的三等分点,G是EF的中点.
(1)求A1H与平面EFH所成角的正弦值;
(2)设点P在线段GH上,
GP
GH
=λ,试确定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值为
10
10
分析:(1)由题意建立坐标系,求出平面EFH的法向量,利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值,再求其正弦值;
(2)由题意先求出P点的坐标,确定面A1B1C1的法向量、面PC1B1的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得结论.
解答:解:由题意,以D1为坐标原点,A1D1,D1C1,DD1为x,y,z轴建立直角坐标系,可得E(2,0,6),F(0,2,6),H(6,6,4),A1(6,0,0).
(1)设平面EFH的法向量
n
=(1,x,y),
EF
=(-2,2,0),
EH
=(4,6,-2)
∴由
n
EH
=0
n
EF
=0
,可得
-2+2x=0
4+6x-2y=0

∴可取
n
=(1,1,5);
A1H
=(0,6,4),
∴cos<
n
A1H
>=
n
A1H
|
n
||
A1H
|
=
26
27
52
=
39
9

∴求A1H与平面EFH所成角的正弦值为
39
9

(2)由题意知,G(1,1,6),C1(0,6,0),
GH
=(5,5,-2),
GP
GH
=λ,∴
GP
GH
=(5λ,5λ,-2λ),解得P(5λ+1,5λ+1,-2λ+6),
已知面A1B1C1的法向量为
D1D
=(0,0,6)
设面PC1B1的法向量为
m
=(p,q,r),
PC1
=(5λ+1,5λ-5,-2λ+6),
C1D1
=(6,0,0)
(5λ+1)p+(5λ-5)q+(-2λ+6)r=0
6p=0

∴可取
m
=(0,2λ-6,5λ-5)
∵二面角P-C1B1-A1的余弦值为
10
10

∴|cos<
D1D
m
>|=|
D1D
m
|
D1D
||
m
|
|=|
6(5λ-5)
6
(5λ-5)2+(2λ-6)2
|=
10
10

∴λ=
9
13
点评:本题用向量法求线面角、面面角的问题,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网