Question

19．已知在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）求圆C的普通方程；
（Ⅱ）已知A（-2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得圆C的普通方程．
（II）直线AB：x-y+2=0，点M（cosθ，sinθ）到直线AB的距离为$d=\frac{|cosθ-sinθ+2|}{{\sqrt{2}}}$，可得△ABM的面积，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（I）圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
利用平方关系可得：圆C的普通方程为x²+y²=1．
（II）直线AB：x-y+2=0，
点M（cosθ，sinθ）到直线AB的距离为$d=\frac{|cosθ-sinθ+2|}{{\sqrt{2}}}$，
△ABM的面积为
$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}×|AB|×d=|cosθ-sinθ+2|\\=|\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-θ）+2|≤2+\sqrt{2}\end{array}$
∴△ABM面积的最大值为$2+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．