Question

19．已知函数f（x）=lnx-ax+a，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在区间（1，e]上无零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性，判断函数在（1，e]有无零点即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a＞0时，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
a≤0时，在（0，+∞）内，f′（x）＞0恒成立，
综上，a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，
a≤0时，f（x）在（0，+∞））递增；
（2）a≤0时，由（1）得f（x）在（0，+∞）递增，
∵f（1）=0，∴此时函数在（1，e]上无零点，符合题意，
0＜$\frac{1}{a}$≤1即a≥1时，由（1）知f（x）在（1，e]递减，
∵f（1）=0，得：a≥1时，函数在（1，e]上无零点，符合题意，
$\frac{1}{a}$＞1即0＜a＜1时，若f（x）在（1，e]无零点，由f（1）=0，
结合（1）中函数的单调性可得，只需f（e）＞0，即a＜$\frac{1}{e-1}$，
此时，0＜a＜$\frac{1}{e-1}$，
综上，a的范围是（-∞，$\frac{1}{e-1}$）∪[1，+∞）．

点评 本题考查了根据导数求函数的单调性、函数的零点问题，考查分类讨论、转化思想以及运算的能力．