Question

1．已知二面角α-l-β的棱上有两点A，B，P为平面β上一点，PB⊥AB，PA与AB成45°，PA与α成30°角，求这个二面角的大小．

Answer 1

分析 过P作PO⊥平面α，垂足为O，连结OB，得到∠PBO是二面角α-l-β的平面角，由此能求出二面角α-l-β的大小．

解答 解：如图，过P作PO⊥平面α，垂足为O，连结OB，
∵PB⊥AB，∴OB⊥AB，∴∠PBO是二面角α-l-β的平面角，
设AB=1，∵PA与AB成45°，PA与α成30°角，
∴PB=1，PA=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，PO=$\frac{AB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
AO=$\sqrt{P{A}^{2}-P{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，OB=$\sqrt{A{O}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠PBO=$\frac{P{B}^{2}+O{B}^{2}-P{O}^{2}}{2×PB×OB}$=$\frac{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{2×1×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得∠PBO=45°．
∴二面角α-l-β的大小为45°．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三垂线定理及其逆定理的合理运用．