Question

5．已知f（x）=ln（$\frac{1+x}{1-x}$），若∨x∈[0，1），f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-ax，判断g（x）的单调性，令g_min（x）≥0即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-ax=ln（$\frac{1+x}{1-x}$）-ax，x∈[0，1），则g_min（x）≥0，
g′（x）=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{1-x+1+x}{（1-x）^{2}}$-a=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-a，
∵x∈[0，1），∴$\frac{2}{1-{x}^{2}}$≥2，
（1）若a≤2，则g′（x）≥0恒成立，∴g（x）在[0，1）上单调递增，
∴g_min（x）=g（0）=0，符合题意；
（2）若a＞2，令g′（x）=0得x=$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$，
∴当0＜x＜$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$时，g′（x）＜0，当$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$＜x＜1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$）上单调递减，在（$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$，1）上单调递增，
∴g_min（x）=g（$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，a≤2．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．