Question

探究函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7
y	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）写出f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的单调区间；
（2）证明：函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）单调递减；
（3）若不等式2x-2k≤1-

8

x

对x＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据表格数据，即可写出f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的单调区间；
（2）根据函数单调性的定义即可证明：函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）单调递减；
（3）将不等式2x-2k≤1-

8

x

对x＜0恒成立转化为最值恒成立，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）由表格数据可知当0＜x＜2时，函数单调递减，当x＞2时函数单调递增，
即f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的单调递增区间为[2，+∞），递减区间为（0，2]；
（2）证明：函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）单调递减；
设0＜x₁＜x₂＜2，
则f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=(x1-x2)?

x1x2-4

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＜0，
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?

x1x2-4

x1x2

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）单调递减．
（3）若不等式2x-2k≤1-

8

x

对x＜0恒成立，
则等价为2x+

8

x

≤1+2k，
即x+

4

x

≤

1+2k

2

，
设g（x）=x+

4

x

，
则g（x）在{x|x≠0}上为奇函数，
∴根据奇函数的对称性可知，函数在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，0）上单调递减，
∴当x＜0时，函数的最大值为g（-2）=-2-2=-4，
∴要使x+

4

x

≤

1+2k

2

恒成立，
则

1+2k

2

≥-4，
解得k≥-

9

2

，
实数k的取值范围是k≥-

9

2

．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，要求熟练掌握基本不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．