Question

15．已知函数$f（x）=ln（{x-2}）-\frac{x^2}{2a}$（a为整数且a≠0）．若f（x）在x₀处取得极值，且${x_0}∉[{e+2，{e^2}+2}]$，而f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，则a的取值范围是a＞e⁴+2e²．

Answer 1

分析 先求导函数，求得极值点，确定函数的单调性，要使f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，得到关于a的不等式组，由此可求a的取值范围．

解答 解：求导数可得f′（x）=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{x}{a}$，令f′（x）=0，可得x₀=1±$\sqrt{a+1}$，
∴函数在（-∞，1-$\sqrt{a+1}$）上单调减，在（1-$\sqrt{a+1}$，1+$\sqrt{a+1}$）上单调增，在（1+$\sqrt{a+1}$，+∞）上单调减
∵f（x）在x₀处取得极值，且x₀∉[e+2，e²+2]，
∴函数在区间[e+2，e²+2]上是单调函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+\sqrt{a+1}{＞e}^{2}+2}\\{f（e+2）≥0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{e+2＞1+\sqrt{a+1}}\\{f{（e}^{2}+2）≥0}\end{array}\right.$，
∴a＞e⁴+2e²
∴a的取值范围是a＞e⁴+2e²．
故答案为：a＞e⁴+2e²．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，属于中档题．