Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点.

（Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；

（Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（2）或

【解析】试题分析：

（Ⅰ）连、，由题意可证得．又在平面，从而可得平面．（Ⅱ）由题意可建立空间直角坐标系，结合条件可得，从而可得平面的法向量，同理可得平面的法向量，根据解得或，故存在实数满足条件．

试题解析：

（Ⅰ）证明：连、，

∵点为线段的中点，

∴、、三点共线.

∵点、分别为和的中点，

∴．

在直三棱柱中，，

∴平面，

∴，

又，

∴四边形为正方形，

∴，

∵、平面，

∴平面，

而，

∴平面.

（Ⅱ）解：以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

连接、，设，

∵，

∴，

∴，∴.

∵点在线段上运动，

∴平面的法向量即为平面的法向量，

设平面的法向量为，

由得，令得，

设平面的法向量为，

由得，

令得，取，

由题意得| ，

∴，

解得或.

∴当或时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．