Question

【题目】如图，椭圆的左、右焦点分别为， 轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积最大值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）定点坐标为.

【解析】分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.

(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在轴上，故可设，，则，，再设，根据三点共线可以得到，联立直线和椭圆的标准方程后消去，利用韦达定理可以得到，从而过定点，同理直线也过即两条直线交于定点.

详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.

∵是的中位线，且，

∴，即，整理得.①

又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，

∴，整理得，即，②

联立①②可得，变形得，解得，进而.

∴椭圆的方程式为.

(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.

设直线与轴交于点，直线的方程为，

联立，消去，得，

∴，，

由三点共线，即，

将，代入整理得，

即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为， 故直线过定点.同理可得过定点，

∴直线与的交点是定点，定点坐标为.