题目内容
已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x＜0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）＜x，则f（x）在R上的零点个数为（ ）
| A、1 | B、3 | C、5 | D、1或3 |
考点：导数的运算,根的存在性及根的个数判断
专题：导数的综合应用
分析：可构造函数g（x）=x2f（x），利用导数判断其单调性，结合函数为奇函数，即可得出结论．
解答：
解：令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵当x＜0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＜x，
∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x2＞0，
∴当x＜0时，g（x）为减函数，
则g（x）＞g（0）=0，
∴f（x）＞0，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x）在R上只有一个零点为x=0．
故选：A．
∵当x＜0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＜x，
∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x2＞0，
∴当x＜0时，g（x）为减函数，
则g（x）＞g（0）=0，
∴f（x）＞0，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x）在R上只有一个零点为x=0．
故选：A．
点评：本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．
练习册系列答案
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如图，在四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面PAB，且PA=PB=3，O是AB的中点，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3双曲线x2-
=1上两点A、B关于直线y=-x+1对称，则直线AB方程为（ ）
| y2 |
| 3 |
| A、y=x | ||
| B、y=x+1 | ||
| C、y=x-1 | ||
D、y=x+
|
记函数f（x）=
x3-
x2+
在（0，+∞）的值域为M，g（x）=（x+1）2+a在（-∞，+∞）的值域为N，若N⊆M，则实数a的取值范围是（ ）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
A、a≥
| ||
B、a≤
| ||
C、a≥
| ||
D、a≤
|