题目内容

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数y=Asin（ωx+
2π
3
）（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2），赛道的中间部分为长
3
千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置．
考点：两角和与差的正弦函数,扇形面积公式
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）首先根据函数的图象求出函数的解析式，进一步求出结果．
（2）利用（1）的结论，对问题进行实际应用．
解答： 解：（1）由条件，得A=2，
T
4
=3．
∵T=
2π
ω
，
∴ω=
π
6
．
∴曲线段FBC的解析式为：y=2sin(
π
6
x+
2π
3
)．
∴当x=0时，y=OC=
3
．
又CD=
3
，
∴∠COD=
π
4
，即∠DOE=
π
4
．
（2）由（1）知OD=
6
．
当“矩形草坪”的面积最大时，
点P 在弧DE上，
故OP=
6
．
设∠POE=θ，0＜θ≤
π
4
，
“矩形草坪”的面积为：
S=
6
sinθ(
6
cosθ-
6
sinθ)=6(sinθcosθ-sin2θ)
=6(
1
2
sin2θ+
1
2
cos2θ-
1
2
)=3
2
sin(2θ+
π
4
)-3．
∵0＜θ≤
π
4
，
故当2θ+
π
4
=
π
2
时，
θ=
π
8
时，
S取得最大值3
2
-3．
点评：本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式，函数解析式的实际应用，属于基础题型．
练习册系列答案
相关题目
若a=log0.20.3，b=log0.30.2，c=log0.30.1，则a，b，c的大小关系为（　　）
A、a＞b＞c
B、b＞a＞c
C、c＞a＞b
D、c＞b＞a
a
=（1，3），
b
=（-1，1），则
a
•
b
=（　　）
A、2B、1C、0D、-2
设a，b，c分别是函数f(x)=2x-log
1
2
x，g(x)=(
1
2
)x-log2x，h(x)=(
1
2
)x-log
1
2
x的零点，则a，b，c的大小关系是（　　）
A、a＜c＜b
B、a＜b＜c
C、b＜a＜c
D、c＜b＜a
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（1，0）处相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求m的值．
甲和乙两人约定凌晨在九龙广场喷水池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开．假设甲在0点到1点内到达，且何时到达是等可能的，
（1）如果乙是0：40分到达，求他们能会面的概率；
（2）如果乙在0点到1点内到达，且何时到达是等可能的，求他们能会面的概率．
如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若
AB
=
a
，
AD
=
b
，用
a
，
b
表示
AG
．
已知函数f（x）=
a•ex，x≤0
-lnx，x＞0
，（a＞0，其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f（f（x））=0，有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为（　　）
A、（1，+∞）
B、（1，2）
C、（0，1）
D、（0，1）∪（1，+∞）
函数f（x）=-cosx在区间[a，b]上是减函数，且f（a）=
1
3
，f（b）=-
1
3
，则sin（
π
2
+
a+b
2
）的值为（　　）
A、0
B、-
3
2
C、
1
6
D、
2
3

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