Question

已知向量

a

=(2cos2x，sinxcosx)，

b

=(a，b)，f(x)=

a

•

b

-  

3

2

，函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，且f(0)=

3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）函数的图象经过怎样的平移变换能使所得图象对应的函数为偶函数？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式，再由f(0)=

3

2

以及f(0)=f(

π

6

)，进一步确定函数的解析式为sin(2x+

π

3

)，由此求出最小正周期以及单调增区间．
（Ⅱ）把函数f（x）的解析式利用诱导公式化为cos2(x-

π

12

)，

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

- 

3

2

=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

=a(cos2x+1)+b

sin2x

2

-

3

2

=acos2x+

b

2

sin2x+a-

3

2

，
∵f(0)=

3

2

，∴a+a-

3

2

=

3

2

，a=

3

2

．
又函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，故有f(0)=f(

π

6

)，即

3

2

=

3

2

cos

π

3

+

b

2

sin

π

3

，b=1．
∴f(x)=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)，故周期T=π．
当f（x）单调递增时，-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ ， (k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)．
（Ⅱ）f(x)=sin(2x+

π

3

)=cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=cos2(x-

π

12

)，
∴f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，可得偶函数y=cos2x 的图象．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．