题目内容

已知向量
a
=(2cos2x，sinxcosx)，
b
=(a，b)，f(x)=
a
•
b
-  
3
2
，函数f（x）的图象关于直线x=
π
12
对称，且f(0)=
3
2
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）函数的图象经过怎样的平移变换能使所得图象对应的函数为偶函数？
分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式，再由f(0)=
3
2
以及f(0)=f(
π
6
)，进一步确定函数的解析式为sin(2x+
π
3
)，由此求出最小正周期以及单调增区间．
（Ⅱ）把函数f（x）的解析式利用诱导公式化为cos2(x-
π
12
)，
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=
a
•
b
- 
3
2
=2acos2x+bsinxcosx-
3
2
=a(cos2x+1)+b
sin2x
2
-
3
2

=acos2x+
b
2
sin2x+a-
3
2
，
∵f(0)=
3
2
，∴a+a-
3
2
=
3
2
，a=
3
2
．
又函数f（x）的图象关于直线x=
π
12
对称，故有f(0)=f(
π
6
)，即
3
2
=
3
2
cos
π
3
+
b
2
sin
π
3
，b=1．
∴f(x)=
3
2
cos2x+
1
2
sin2x=sin(2x+
π
3
)，故周期T=π．
当f（x）单调递增时，-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ（k∈Z），
解得-
5π
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ ， (k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间是[-
5π
12
+kπ，
π
12
+kπ](k∈Z)．
（Ⅱ）f(x)=sin(2x+
π
3
)=cos[
π
2
-(2x+
π
3
)]=cos2(x-
π
12
)，
∴f（x）的图象向左平移
π
12
个单位，可得偶函数y=cos2x 的图象．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），f（x）=a•b．
（I）求函数f（x）的解析式及最大值；
（II）若f(x)=
5
4
，求2cos2(
π
4
+x)-1的值．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(x)-
3
2
x在区间[0，2π]上的单调递减区间．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(2x)-
3
x在区间[0，  
3π
2
]上的单调递减区间．
（2013•湖南模拟）已知向量
a
=(sinx，2co
s
2
 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．
已知向量
a
=(sinx，2co
s2 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

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