Question

（2013•湖南模拟）已知向量

a

=(sinx，2co

s

2

x)，

b

=(2

3

cosx，-1)，函数f(x)=

a

•

b

+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍；再把所得到的图象向左平移

π

6

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-

π

6

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用数量积、两角和差的正弦公式即可把f（x）化为asin（ωx+φ）的形式，进而即可得出周期及其单调区间；
（2）利用图象变换的法则即可得到y=g（x），再利用三角函数的单调性即可得出值域．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

+1=2

3

sinxcosx-2cos2x+1=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（2）函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍得到y=2sin(4x-

π

6

)，
再把所得到的图象向左平移

π

6

个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin[4(x+

π

6

)-

π

6

]=2cos4x，
当x∈[-

π

6

，

π

12

]时，4x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴当x=0时，g（x）_max=2；当x=-

π

6

时，g(x)min=2cos(-

2π

3

)=-1．
∴函数y=g（x）在区间[-

π

6

，

π

12

]上的值域为[-1，2]．

点评：熟练掌握数量积、两角和差的正弦公式即可把f（x）化为asin（ωx+φ）的形式、三角函数周期及其单调性、图象变换的法则是解题的关键．