Question

已知向量

a

=(1-2cos2

ωx

2

，  1)，

b

=（-1，cos（ωx+

π

3

）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=

a

•

b

的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=

3

3

，x∈(0，

π

2

)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(2x)-

3

x在区间[0，  

3π

2

]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积公式和三角恒等变换公式，化简得f（x）=

3

sin(ωx+

2π

3

)，结合题意AB=π利用三角函数的周期公式加以计算，即可得到ω的值；
（2）根据（1）求出的表达式，由f(x)=

3

3

解出sin(x+

2π

3

)=

1

3

，结合x的范围算出cos(x+

2π

3

)=-

2 2

3

，再利用配角x=（x+

2π

3

）-

2π

3

，根据两角差的正弦公式加以计算即可得到sinx的值；
（3）对g（x）求导数并解不等式g′（x）≤0得cos(2x+

2π

3

)≤

1

2

，解之得2kπ+

π

3

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

5π

3

（k∈Z），从而得到g（x）的递减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

2

]（k∈Z），再根据x∈[0，

3π

2

]取特殊的k值并求交集，即可得出所求单调递减区间．

解答：解：（1）∵

a

=(1-2cos2

ωx

2

，  1)，

b

=（-1，cos（ωx+

π

3

）），
∴f(x)=

a

•

b

=2cos2

ωx

2

-1+cos(ωx+

π

3

)=cosωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx
=

3

2

cosωx-

3

2

sinωx=

3

sin(ωx+

2π

3

)，
∵点A、B为函数f(x)=

a

•

b

的相邻两个零点，AB=π．
∴可得函数的周期T=2π=

2π

ω

，解之得ω=1；
（2）由（1）得f(x)=

3

3

，即

3

sin(x+

2π

3

)=

3

3

，得sin(x+

2π

3

)=

1

3

．
∵x∈(0，

π

2

)，得x+

2π

3

∈（

π

2

，

7π

6

），∴cos(x+

2π

3

)=-

2 2

3

（正值舍去）．
∴sinx=sin(x+

2π

3

-

2π

3

)=sin(x+

2π

3

)cos

2π

3

-cos(x+

2π

3

)sin

2π

3

=

1

3

×(-

1

2

)-(-

2 2

3

)×

3

2

=

2 6 -1

6

；
（3）∵g(x)=

3

sin(2x+

2π

3

)-

3

x，
∴求导数得：g′(x)=2

3

cos(2x+

2π

3

)-

3

，
令g′（x）≤0即2

3

cos(2x+

2π

3

)-

3

≤0，解得cos(2x+

2π

3

)≤

1

2

，
∵不等式cos(2x+

2π

3

)≤

1

2

的解集满足2kπ+

π

3

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

5π

3

（k∈Z），
∴解之得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z），
得g(x)=

3

sin(2x+

2π

3

)-

3

x的递减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

2

]（k∈Z），
结合x∈[0，  

3π

2

]，取k=0和1并求交集，
可得g（x）在区间[0，  

3π

2

]上的单调递减区间为[0，  

π

2

]，[

5π

6

，  

3π

2

]．

点评：本题着重考查了向量的数量积公式、三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．