Question

19．已知函数f（x）=ax²+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若函数在区间（2，4）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）求函数的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到a的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调递增区间．

解答 解：（1）因为函数定义域为{x|x＞0}，f′（x）=ax+1-a-$\frac{1}{x}$，（2分）
已知函数在区间（2，4）上存在单调递增区间，
由f′（x）≥0，得ax+1≥0，故a≥-$\frac{1}{x}$＞-$\frac{1}{2}$，
故a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．（6分）
（2）f′（x）=ax+1-a-═$\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$，
①当a＜-1时，由f′（x）≥0得-$\frac{1}{a}$≤x≤1，f（x）的单调增区间为[-$\frac{1}{a}$，1]；
②当a=-1时，f′（x）=-$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≤0，f（x）无单调增区间；（8分）
③当-1＜a＜0时，由f′（x）≥0得1≤x≤-$\frac{1}{a}$，f（x）的单调增区间为[1，-$\frac{1}{a}$]；
④当a=0时，由f′（x）=$\frac{x-1}{x}$≥0得x≥1，f（x）的单调增区间为[1，+∞）；（10分）
⑤当a＞0时，由f′（x）=$\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$≥0得x≥1，f（x）的单调增区间为[1，+∞）．（12分）
综上所述当a＜-1时，f（x）的单调增区间为[-$\frac{1}{a}$，1]；
当a=-1时，f（x）无单调增区间；
当-1＜a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，-$\frac{1}{a}$]；
当a≥0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞）．（13分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．