Question

求sin⁴10°+sin⁴50°+sin⁴70°的值为

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：原式各项利用诱导公式化简将正弦变形为余弦，利用二倍角的余弦函数公式化简，利用完全平方公式整理后，利用和差化积公式及诱导公式化简，计算即可得到结果．

解答： 解：sin⁴10°+sin⁴50°+sin⁴70°
=cos⁴80°+cos⁴40°+cos⁴20°
=cos⁴20+cos⁴40°+cos⁴80°
=（

1+cos40°

2

）²+（

1+cos80°

2

）²+（

1+cos160°

2

）²
=

3

4

+

1

2

（cos40°+cos80°+cos160°）+

1

4

（cos²40°+cos²80°+cos²160°）
=

3

4

+

1

2

（2cos60°cos20°-cos20°）+

1

4

（

1+cos80°

2

+

1+cos160°

2

+

1+cos320°

2

）
=

3

4

+0+

1

8

（3+cos80°-cos20°+cos40°）
=

3

4

+

1

8

（3-2sin50°sin30°+sin50°）
=

3

4

+

3

8

=

9

8

．
故答案为：

9

8

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及和差化积公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．