Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若nS_n+（n+2）a_n=4n，则下列说法正确的是（　　）

• A． 数列{a_n}是以1为首项的等比数列
• B． 数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{n+1}{2^n}$
• C． 数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等比数列，且公比为$\frac{1}{2}$
• D． 数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等比数列，且公比为$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}（n=1）}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$得到数列{a_n}的递推式，

解答 解：当n=1时，有S₁+3a₁=4a₁=4，得：a₁=1，
当n≥2，时，由nS_n+（n+2）a_n=4n，即S_n+$\frac{n+2}{n}$a_n=4①，得：
S_n-1+$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1=4②，
①-②得：a_n+$\frac{n+2}{n}$a_n-$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1=0，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{2（n-1）}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$•…•$\frac{n}{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•n，
即a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等比数列，且公比为$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查数列通项公式的求法．解题关键是能根据S_n与a_n的关系得到数列的递推公式．考查了转化的思想方法，属于中档题．