Question

已知f（x）=2^x，则f（

1

x

）的定义域是

 

；f（cosx）（x∈R）的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件与分式有意义的条件即可求出函数的定义域．
（2）令t=cosx （x∈R）则可把求 f（cosx）（x∈R）的值域 转化为求 f（t）（t∈[-1，1]）的值域，再根据函数的单调性求出函数的值域．

解答： 解：要使函数f（x）=2^x有意义，则x∈R
∵

1

x

∈R，∴x≠0
∴f（

1

x

）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）令t=cosx （x∈R）
∴t∈[-1，1]，
f（t）=2^t （t∈[-1，1]）的值域即为 f（cosx）（x∈R）的值域，
又∵f（t）=2^t 在[-1，1]上单调递增，
故当-1≤t≤1时，f（t）（t∈[-1，1]）的值域为：[

1

2

，2]．
即f（cosx）（x∈R）的值域为：[

1

2

，2]．

点评：本题考查函数的定义域和值域，考查指数函数的单调性，属于基础性题，注意对函数概念的灵活运用．