Question

2．根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+20，0≤t＜20，t∈N}\\{-t+42，20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$，销售量g（t）与时间t满足关系g（t）=-t+50（0≤t≤40，t∈N），设商品的日销售额为F（t）（销售量与价格之积）．求：
（1）商品的日销售额F（t）的解析式；
（2）商品的日销售额F（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件，由商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），能够求出F（t）的解析式．
（2）当0≤t＜20，t∈N时，F（t）=-t²+30t+100=-（t-15）²+1225．当t=15时，F（t）_max=1225；当20≤t≤40，t∈N时，F（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，当t=20时，F（t）_max=660．由此能求出商品的日销售额F（t）的最大值．

解答 解：（1）据题意，商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），
得F（t）=$\left\{\begin{array}{l}{（t+20）（-t+50），0≤t＜20，t∈N}\\{（-t+42）（-t+50），20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$，
即F（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+30t+1000，0≤t＜20，t∈N}\\{{t}^{2}-92t+2100，20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$．
（2）当0≤t＜20，t∈N时，
F（t）=-t²+30t+1000=-（t-15）²+1225，
∴当t=15时，F（t）_max=1225；
当20≤t≤40，t∈N时，
F（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，
∴当t=20时，F（t）_max=660
综上所述，当t=15时，日销售额F（t）最大，且最大值为1225．

点评 本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意配方法的灵活运用．