Question

10．已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax，a∈R，且a≠0．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=（3a+1）x-（a²+a）x²，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a的取值范围，
（2）当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，转化为lnx-x＜2ax-ax²，在（1，+∞）恒成立，构造函数h（x）=lnx-x，利用导数求出函数最值，得到ax²-2ax-1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-a²x²+ax，其定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2a²x+a=$\frac{-2{a}^{2}x+ax+1}{x}$=$\frac{-（2ax+1）（ax-1）}{x}$．
①当a=0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．
②当a＞0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞$\frac{1}{a}$．
此时f（x）的单调递减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）．
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$解之，得a≥1．
③当a＜0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞-$\frac{1}{2a}$．
此时f（x）的单调递减区间为（-$\frac{1}{2a}$，+∞）．
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}≤1}\\{a＜0}\end{array}\right.$解之，得a≤-$\frac{1}{2}$．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．
（2）∵g（x）=（3a+1）x-（a²+a）x²，
∴f（x）-g（x）=lnx-（2a+1）x+ax²＜0，
即lnx-x＜2ax-ax²，在（1，+∞）恒成立，
设h（x）=lnx-x，
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）为减函数，
∴h（x）＜h（1）=-1，
∴ax²-2ax-1＜0，在（1，+∞）上恒成立，
设φ（x）=ax²-2ax-1
当a=0时，-1＜0，符合题意，
当a＞0时，显然不满足题意，
当a＜0，由于对称轴x=1，则φ（1）＜0，即a-2a-1＜0，解得-1＜a＜0，
综上所述，a的取值范围为（-1，0]．

点评 本题考查了导数和函数的单调性以及最值的关系，和二次函数的性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．