Question

?x∈[0，

3

4

π]，sinx-cosx-ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：全称命题

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：设g（x）=sinx+1-ax-cosx，求g′（x），讨论函数在区间[0，

3π

4

]上的单调性，利用函数的单调性求g（x）的最小值，根据最小值大于等于0确定a的范围．

解答： 解：设g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，

3π

4

]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[0，

2

]．
当a≤0时，g′（x）≥0在[0，

3π

4

]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，故a≤0；
当a≥

2

时，g′（x）≤0在[0，

3π

4

]上恒成立，
∴g（x）≥g（

3π

4

）=

2

+1-

3π

4

a≥0，得a≤

4+4 2

3π

，无解．
当0＜a＜

2

时，则存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）时，g（x）是增函数，x∈（x₀，

3π

4

]时，g（x）是减函数，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（

3π

4

），
∴

g(0)≥0 g( 3π 4 )≥0

⇒0＜a≤

4+4 2

3π

，
综上所述：a≤

4+4 2

3π

．

点评：本题借助全称命题考查了三角函数的最值的求法，导数的应用及恒成立问题的解法，利用导函数分类求得不等式恒成立的条件是解答本题的关键．