Question

14．已知函数f（x）=|x+2|+|x-3|
（1）证明：f（x）≥f（0）；
（2）若?x∈R，不等式3f（x）＞f（a+1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，求出f（x）的最小值，即可证明结论；
（2）?x∈R，不等式3f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式3[|x+2|+|x-3|]≥|a+3|+|a-2|恒成立，可得|a+3|+|a-2|≤15，分类讨论求实数a的取值范围．

解答 （1）证明：f（x）=|x+2|+|x-3|，
x≤-2时，f（x）=-x-2-x+3=-2x+1≥5，
-2＜x＜3时，f（x）=x+2-x+3=5，
x≥3时，f（x）=x+2+x-3=2x-1≥35，
∴f（x）≥5=f（0）；
（2）解：?x∈R，不等式3f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式3[|x+2|+|x-3|]≥|a+3|+|a-2|恒成立，
∴|a+3|+|a-2|≤15，
a≤-3时，-a-3-a+2≤15，∴a≥-8，∴-8≤a≤-3，
-3＜a＜2时，a+3-a+2≤15，成立；
a≥2时，a+3+a-2≤15，∴a≤7，∴2≤a≤7，
综上所述，-8≤a≤7．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查恒成立问题、最值问题，是一道中档题．