Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=2B，sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（I ）求cosC的值；
（II）求$\frac{c}{b}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，利用二倍角公式可求sinA，cosA的值，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式即可计算得解．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinC，根据正弦定理即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵B=$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（2分）
∵A=2B，
∴sinA=2sinBcosB=$\frac{4}{5}$，cosA=cos2B=1-2sin²B=$\frac{3}{5}$，…（4分）
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=-$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．…（7分）
（Ⅱ）sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{11\sqrt{5}}{25}$，…（9分）
根据由正弦定理，$\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{11}{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．