Question

10．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有④（填写所有正确结论的序号）
①f（sin2x）=sinx；
②f（sin2x）=x²+x；
③f（x²+1）=|x+1|；
④f（x²+2x）=|x+1|

Answer 1

分析 利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．

解答 解：①取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；
取x=$\frac{π}{2}$，则sin2x=0，∴f（0）=1；
∴f（0）有两个值0和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；
②取x=0，则f（0）=0；
取x=π，则f（0）=π²+π；
∴f（0）有两个值0和π²+π，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=x²+x；
③取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0；
这样f（2）有两个值0和2，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（x²+1）=|x+1|；
④令x+1=t，则f（x²+2x）=|x+1|，化为f（t²-1）=|t|；
令t²-1=x，则t=±$\sqrt{x+1}$；
∴f（x）=$\sqrt{x+1}$；
即存在函数f（x）=$\sqrt{x+1}$，对任意x∈R，都有f（x²+2x）=|x+1|；
∴该选项正确．
故答案为：④

点评 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．