Question

19．根据下列条件，求数列的通项公式a_n，n∈N^*．
（1）数列{a_n}中，a₂=6，a_n+1-2a_n=0；
（2）数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$；
（3）数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3，n∈N^* 则a_n=3•2^n-1-1．

Answer 1

分析 （1）由递推式可得数列{a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，则答案可求；
（2）由递推式可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}为常数列，结合已知求得数列{a_n}的通项公式；
（3）由递推式构造等比数列{a_n+1}，再由等比数列的通项公式得答案．

解答 解：（1）由a₂=6，a_n+1-2a_n=0，可得：a₁=3，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$．
∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n-1}$；
（2）由a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，得$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）+1}=\frac{{a}_{n}}{n+1}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}为常数列．
由a₁=1，得$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}=\frac{1}{2}$，则${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$；
（3）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=2，∴a₁+1=3≠0，
∴数列{a_n+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n}+1=3•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n-1}-1$．
故答案为：3•2^n-1-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．