Question

设函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，
[0，1]，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(1) ；（2）递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），；（3）.

试题分析：(1)将代入，分别得到，，再由点斜式得到在处的切线方程为；（2）将代入得到，从而得到递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），；（3）先将题设条件转化为在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后讨论的范围，又在[1,2]上最小值为.由单调性及从而得到的取值范围为.
试题解析：(1)函数的定义域为
，
当时，，，
，故.
所以在处的切线方程为.
(2)当时，.
故当或时，；当时，.
所以函数的递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），.
(3)由（2）知，在（1,2）上为增函数，
所以在[1,2]上的最小值为，
若对于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.
又，
当时，在[0,1]上为增函数，与题设不符.
当时，，由及，得；
当时，在[0,1]上为减函数，及得.
综上所述，的取值范围为.